Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
20 турнир (1998/1999 год)
>>
весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямоугольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на стороне AC, вершины R и S — на сторонах AB и BC соответственно.
РешениеДана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.
РешениеБыло 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более
а) 99 попыток;
б) 75 попыток;
в) 74 попытки.
РешениеИгра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по
очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер –
нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов,
в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность В = К – Н считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что
1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл
второй игрок;
2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не
больше B, как бы тот ни играл.
Решение
Задачи
Задача 98427 (#1) |
|
|
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число,
кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.
|
|
Решение |
Задача 108086 (#2) |
|
|
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что AC = 1, BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?
|
|
|
Решение |
Задача 98424 (#3) |
|
|
На доске написано несколько целых положительных чисел: a0, a1, a2, ... , an. Пишем на другой доске следующие числа: b0 – сколько всего чисел на первой доске, b1 – сколько там чисел, больших единицы, b2 – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0, c1, c2, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b0, b1, b2, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
|
|
|
Решение |
Задача 98430 (#4) |
|
|
На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
|
|
|
Решение |
Задача 98431 (#5) |
|
|
Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по
очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер –
нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов,
в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность В = К – Н считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что
1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл
второй игрок;
2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не
больше B, как бы тот ни играл.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
