Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61098 (#07.034)

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите тождества

а)

б)

в)

г)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61099 (#07.035)

[Многочлены Чебышева]

Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = T_n(cos x), sin nx = sin x U_n–1(cos x), где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61100 (#07.036)

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1, T₁(x) = x; U₀(x) = 1, U₁(x) = 2x, и рекуррентным формулам T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x), U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61101 (#07.037)

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61102 (#07.038)

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что cos α° = ¹/₃. Является ли α рациональным числом?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1255]