Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 190 191 192 193 194 195 196 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61248 (#08.087)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos $\displaystyle \alpha$ ,

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos $\displaystyle \beta$ ,

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos $\displaystyle \gamma$ ,

tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$ ,

(8.8)

где 2p = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61249 (#08.088)

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:
а) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$ ;
б) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61250 (#08.089)

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть

u_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$ .

Докажите, что числа u_k можно представить в виде многочлена от cos x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61251 (#08.090)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Пусть числа u_k определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1 - u₁ + u₂ - u₃ +...+ u_2n = 2ⁿ(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n - 1)x);

б) 1 - u₁² + u₂² - u₃² +...+ u_2n² = (- 1)ⁿ ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+4)x\cdot\ldots \cdot\sin4nx}{\sin 2nx\cdot\sin2(n-1)x\cdot\ldots\cdot\sin 2x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61252 (#09.001)

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 190 191 192 193 194 195 196 >> [Всего задач: 1255]