Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 8. Алгебра + геометрия >> параграф 3. Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Пукас Ю.О., Федулкин Л.Е.

Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй 2, к третьей 3 и к четвёртой 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?

Вниз   Решение

Автор: Лиманов Л.Г.

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

ВверхВниз   Решение

Автор: Лиманов Л.Г.

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кубарев А.М.

Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Закорко П., Антропов А.

а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.

ВверхВниз   Решение

Автор: Закорко П.

У Карабаса-Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого $12$-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу-Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас-Барабас актёрам?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Кноп К.А., Синицын С., Воронов В.

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  PK = ML.

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке:

По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

Задача 61209  (#08.048)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите тождества:
а) sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ - sin($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 sin$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$sin$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$sin$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$;
б) cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ + cos($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$) = 4 cos$ {\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$cos$ {\dfrac{\beta+\gamma}{2}}$cos$ {\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61210  (#08.049)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите тождество:

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle {\frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}$ = tg $\displaystyle \alpha$tg $\displaystyle \beta$tg $\displaystyle \gamma$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61211  (#08.050)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Найдите алгебраическую связь между углами $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$, если известно, что

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ = tg $\displaystyle \alpha$ . tg $\displaystyle \beta$ . tg $\displaystyle \gamma$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61212  (#08.051)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что если $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$, то

sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = 4 cos$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61213  (#08.052)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f1(x) = a cos x + b sin x;
б) f2(x) = a cos2x + b cos x sin x + c sin2x.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .