Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 103]

Задача 57389 (#09.082)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n взята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой A_kA_{k + 1}. Докажите, что $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ $\sum$ d_k и $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57390 (#09.083)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 57391 (#09.084)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри правильного многоугольника A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам $\pi$ (1 - 1/n) $\leq$ $\angle$ A_iOA_j $\leq$ $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57392 (#09.085)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что при n $\geq$ 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий Решение

Задача 57393 (#09.086)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

а) Выпуклые многоугольники A₁...A_n и B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и $\angle$ A₂ $\geq$ $\angle$ B₂,..., $\angle$ A_{n - 1} $\geq$ $\angle$ B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника A₁...A_n знак разности $\angle$ A_i - $\angle$ B_i. Докажите, что при n $\geq$ 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 103]