Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

   Решение

---

В последовательности натуральных чисел {a_n},  n = 1, 2, ...,  каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство     Докажите, что тогда  |a_n – n| < 2000000  для всех натуральных n.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61135  (#07.071)

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Производная (прочее) ] [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61136  (#07.072)  [Теорема Гаусса-Люка]

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Производная (прочее) ] [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61137  (#07.073)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При каких n
  а) многочлен  x²ⁿ + xⁿ + 1  делится на  x² + x + 1?
  б) многочлен  x²ⁿ – xⁿ + 1  делится на  x² – x + 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61138  (#07.074)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺²  делится на  a² + a + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61139  (#07.075)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями