Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 141]

Задача 60989 (#06.066)

[Алгоритм Евклида для многочленов]

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A₀(x), A₁(x), ..., A_s(x) и R₁(x), ..., R_s(x), что degQ(x) > degR₁(x) > degR₂(x) > ... > degR_s(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A₀(x) + R₁(x),
Q(x) = R₁(x)A₁(x) + R₂(x),
R₁(x) = R₂(x)A₂(x) + R₃(x),
...
R_s–2(x) = R_s–1(x)A_s–1(x) + R_s(x),
R_s–1(x) = R_s(x)A_s(x)
и (P(x), Q(x)) = R_s(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60990 (#06.067)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60991 (#06.068)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60992 (#06.069)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найдите (xⁿ – 1, x^m – 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60993 (#06.070)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями a₀ = 0, a_n+1 = P(a_n) (n ≥ 0), где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 141]