ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 141]      



Задача 61009  (#06.086)

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что при нечетном m выражение  (x + y + z)mxm – ym – zm  делится на  (x + y + z)3x3y3z3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61010  (#06.087)

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение  a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a)  не равно нулю.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61011  (#06.088)

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если три числа a, b, c связаны соотношением  1/a + 1/b + 1/c = 1/a+b+c,  то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61012  (#06.089)

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61013  (#06.090)

 [Теорема о рациональных корнях многочлена]
Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  p/q  – рациональный корень многочлена  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  с целыми коэффициентами, то
  а)  a0 делится на p;
  б)  an делится на q.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 141]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .