Версия для печати
Убрать все задачи

---

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

   Решение

---

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что  $CN = AB$.  Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

   Решение

---

Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

   Решение

---

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что  AG = AB.

   Решение

---

На аттракционе «Весёлая парковка» у машинки только 2 положения руля: «вправо» и «совсем вправо». В зависимости от положения руля, машинка едет по дуге радиуса $r_1$ или $r_2$. Машинка выехала из точки $A$ на север и проехала расстояние $l$, повернув при этом на угол $\alpha<2\pi$. Где она могла оказаться (найдите ГМТ – концов возможных траекторий)?

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78707  (#03.092)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60545  (#03.093)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть  (m, n) > 1.  Что больше  τ(mn)  или  τ(m)τ(n)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60546  (#03.094)  [Совершенные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60547  (#03.095)  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2^k–1(2^k – 1),  и  p = 2^k – 1  – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60548  (#03.096)  [Дружественные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2^k–1 – 1,  q = 3·2^k – 1  и  r = 9·2^2k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2^kpq  и  n = 2^kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями