Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]

Задача 61497 (#11.070)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61498 (#11.71-72)

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
б) (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61500 (#11.073)

Тема:

[

Формальные степенные ряды

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовем экспонентой следующий степенной ряд: Exp(z)=1+z+z²/2!+...+zⁿ/n!+...
Докажите следующие свойства экспоненты:
а) Exp $\nolimits{^\prime}$ (z) = Exp $\nolimits$ (z); б) Exp $\nolimits$ (( $\alpha$ + $\beta$ )z) = Exp $\nolimits$ ( $\alpha$ z)^.Exp $\nolimits$ ( $\beta$ z).

Прислать комментарий Решение