Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 810]

Задача 35136

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35138

Тема:

[

Полуинварианты

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На доске записаны несколько чисел. За один ход разрешается любые два из них a и b, одновременно не равные нулю, заменить на числа a – ^b/₂ и b + ^a/₂. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35142

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35146

Темы:	[	Ориентированные графы	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35149

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 810]