Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]

Задача 78708

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78710

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Прислать комментарий Решение

Задача 78714

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78705

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существует ли такое число h, что ни для какого натурального числа n число [h·1969ⁿ] не делится на [h·1969^n–1]?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78713

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Центр поворотной гомотетии	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]