ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 78699

Темы:   [ Раскраски ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 3
Классы: 10

Остров Толпыго имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78701

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78703

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Дана бесконечная последовательность чисел a1, ..., an, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a1 = a101a2 = a102,  ... Известно, что  a1 ≥ 0,  a1 + a2 ≤ 0,  a1 + a2 + a3 ≥ 0  и вообще, сумма  a1 + a2 + ... + an  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a99| ≥ |a100|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78707

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3
Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78690

Тема:   [ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: A, E, F, B, K, L, C, M, N. Со временем все стены и башни, кроме башен E, K, M, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни A, B, C, если известно, что башни A, B, C стояли в вершинах?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .