Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]
Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.
Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Числа 1, 2, 3, ..., n записываются в некотором порядке: a1, a2, a3, ..., an. Берётся сумма S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n. Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках a1, a2, a3, ..., an) встретились все целые числа от n до n + 100.
В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до K – 1 можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]
Фильтр
