ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



Задача 98211

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Степень вершины ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Деревья ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Вялый М.Н.

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.
Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98212

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Савин А.П.

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98217

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Последовательность натуральных чисел  a1, a2, ..., an, ...  такова, что для каждого n уравнение  an+2x² + an+1x + an = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98218

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается  9·6 = 54  дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98219

Темы:   [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .