Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 43]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Клетки доски m×n покрашены в два цвета. Известно, что на
какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать,
называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну
цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу,
то Лёша отвечает "тепло"; в остальных случаях Лёша отвечает "холодно".
(Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша
услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)
а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).
в) А за 22 попытки получится?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Даны две таблицы A и B, в каждой m строк и n столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом k от 1 до m сумма чисел в верхних k строках таблицы A не меньше суммы чисел в верхних k строках таблицы B. Известно также, что всего в таблице A столько же единиц, сколько в таблице B. Докажите, что при любом l от 1 до n сумма чисел в левых l столбцах таблицы A не больше суммы чисел в левых l столбцах таблицы B.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и
коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 43]
Фильтр
