Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 404]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103758

Темы:   [ Невыпуклые многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из её стен, если в комнате а) 10 стен, б) 6 стен?

Решение

б) См. рисунок.

Ответ

а, б) Да, может.

Прислать комментарий

---

Задача 103763

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7

Если у числа x подсчитать сумму цифр и с полученным числом повторить это ещё два раза, то получится ещё три числа. Найдите самое маленькое x, для которого все четыре числа различны, а последнее из них равно 2.

Подсказка

Если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b.

Решение

Докажем сначала, что если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b. Пусть B — наименьшее число с суммой цифр b. Если уменьшить на 1 любую ненулевую цифру числа B, то сумма цифр уменьшится ровно на 1 и само число тоже уменьшится. Значит, после нескольких (а именно, b - a) таких операций мы получим число, меньшее B, с суммой цифр, в точности равной a. Значит, и наименьшее число с суммой цифр, равной a, будет меньше, чем B. Теперь мы легко можем решить задачу. Наименьшее число с суммой цифр, равной 2, — это 11. Наименьшее число с суммой цифр, равной 11, — это 29, а наименьшее число с суммой цифр 29 — это 2999.

Ответ

 2999.

Прислать комментарий

---

Задача 103768

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Можно ли в центры 16 клеток шахматной доски 8×8 вбить гвозди так, чтобы никакие три гвоздя не лежали на одной прямой?

Решение

См. рисунок:

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

---

Задача 103780

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся
  а) 15 одноклассников;
  б) 16 одноклассников?

Решение

  а) Разобьём всех 60 школьников на группы одноклассников. Если среди школьников нет 15 одноклассников, то в каждой группе не более 14 школьников. Пусть k – число групп, состоящих из двух и более школьников. Такие группы назовём большими.
  Из условия вытекает, что  k ≤ 4  (иначе, взяв по двое из пяти больших групп, мы получим 10 школьников, среди которых не будет трёх одноклассников). Рассмотрим два случая.
  1.  k ≤ 3.  Тогда общее число школьников в больших группах не превышает  14·3 = 42.  Следовательно, найдётся 18 школьников, которые не входят в большие группы, а значит, не имеют ни одного одноклассника! Противоречие.
  2.  k = 4 . Тогда общее число школьников в больших группах не превышает 56. Следовательно, найдутся 4 школьника, каждый из которых не имеет одноклассников. Взяв этих четверых и добавив к ним по два из всех четырёх больших групп, мы получим даже 12 школьников, среди которых не найдётся трёх одноклассников. Противоречие.

  б) Не обязательно. Пример: по 15 школьников из четырёх классов.

Ответ

а) Обязательно; б) не обязательно.

Прислать комментарий

---

Задача 103803

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3 Классы: 7

Три человека A, B, C пересчитали кучу шариков четырёх цветов (см. таблицу).

При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оранжевый, другой – оранжевый и жёлтый, а третий – жёлтый и зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько каких шариков было на самом деле?

Решение

Ошибиться при подсчёте красных шариков мог только один из них, а двое правильно сосчитали число красных шариков. Поэтому красных шариков
было 2. В подсчёте красных шариков ошибся C, значит, он путал красные с оранжевыми, а жёлтые и зелёные считал правильно. Получаем, что жёлтых – 8, а зелёных – 9. Все оставшиеся шарики – оранжевые. Общее число шариков все считали правильно – 23. Значит, оранжевых шариков было 4.

Ответ

Красных – 2, оранжевых – 4, жёлтых – 8, зелёных – 9.

Прислать комментарий

---

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 404]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями