Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 447 448 449 450 451 452 453 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73633

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Обратный ход	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73671

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Взвешивания	]
	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Федоров В.П.

Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73678

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p – простое и n делится на p – 1, то n делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73687

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Григорьев Д.Ю.

Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если a^m + b^m делится на aⁿ + bⁿ, то m делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73704

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 447 448 449 450 451 452 453 >> [Всего задач: 4557]