Страница:
<< 681 682 683 684
685 686 687 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для любых n вещественных чисел a1, a2, ..., an существует такое натуральное k ≤ n, что каждое из k чисел ak, ½ (ak + ak–1),
⅓ (ak + ak–1 + ak–2), ..., 1/k (ak + ak–1 + ... + a2 + a1) не превосходит среднего арифметического c чисел a1, a2, ..., an.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам a + b литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и a + b литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.
Страница:
<< 681 682 683 684
685 686 687 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
