Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 679 680 681 682 683 684 685 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61412

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Классические неравенства	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными: S_–1(x) ≤ S₀(x) ≤ S₁(x) ≤ S₂(x).
Определение средних степенных можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61438

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Вычислите сумму

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ C_n^k(- 1)^k $\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61466

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Найдите все целочисленные решения уравнения a² – 3b² = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61474

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Дискретное распределение	]
	[	Производящие функции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61479

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что последовательность a_n = 1 + 17n² (n ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 679 680 681 682 683 684 685 >> [Всего задач: 4557]