Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 676 677 678 679 680 681 682 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60526

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение $ax + by = c$ имело ровно $n$ целых положительных решений, значение $c$ должно находиться в пределах $(n - 1) \cdot ab + a + b \leqslant c \leqslant (n + 1) \cdot ab.$

Прислать комментарий

Решение

Задача 60527

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Центральная симметрия	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Отметим на прямой красным цветом все точки вида 81x + 100y, где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60556

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Системы счисления (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид: n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60577

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F_m, единственным образом можно представит в виде

n = $\displaystyle \sum\limits_{k=2}^{m}$ b_kF_k,

где все числа b₂, ..., b_m равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b_kb_{k + 1} = 0 (2 $\leqslant$ k $\leqslant$ m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

n = (b_k...b₂)_F.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60884

[Эффект девяток]

Тема:

[

Периодические и непериодические дроби

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Периодом дроби ¹/₇ является число N = 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число N = N₁N₂, что N₁ + N₂ = .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 676 677 678 679 680 681 682 >> [Всего задач: 4557]