Страница:
<< 674 675 676 677
678 679 680 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более
k
хорд, то сумма длин хорд меньше
k.
Выпуклый многоугольник
A1...
An лежит внутри окружности
S1, а выпуклый
многоугольник
B1...
Bm — внутри
S2. Докажите, что если эти
многоугольники пересекаются, то одна из точек
A1, ...,
An лежит внутри
S2 или одна из точек
B1, ...,
Bm лежит внутри
S1.
|
[Лемма Шпернера]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9
|
Вершины треугольника помечены цифрами 0, 1 и 2. Этот треугольник разбит на несколько треугольников таким образом, что никакая вершина одного треугольника не лежит на стороне другого. Вершинам исходного треугольника оставлены старые пометки, а дополнительные вершины получают номера 0, 1, 2, причём каждая вершина на стороне исходного треугольника должна быть помечена одной из пометок вершин этой стороны (см. рис.). Докажите, что существует треугольник разбиения,
помеченный цифрами 0, 1, 2.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На рис. изображен шестиугольник, разбитый на чёрные и белые треугольники так, что каждые два треугольника имеют либо общую сторону (и тогда они окрашены в разные цвета), либо общую вершину, либо не имеют общих точек, а каждая сторона шестиугольника является стороной одного из черных треугольников.
Докажите, что десятиугольник разбить таким образом нельзя.
Можно ли шашечную доску размером
10×10
замостить плитками размером 1×4?
Страница:
<< 674 675 676 677
678 679 680 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
