Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 675 676 677 678 679 680 681 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58198

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58365

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов e₁, e₂ — в данный базис e₁', e₂'.
б) Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A₁, B — в B₁, C — в C₁.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

Прислать комментарий Решение

Задача 58530

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Вершины A и B треугольника ABC скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол C не прямой, то вершина C перемещается при этом по эллипсу.

Прислать комментарий Решение

Задача 60359

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано 51 различное двузначное число (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60451

[Формула для чисел Каталана]

Темы:	[	Числа Каталана	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Комбинаторика орбит	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

а) Пусть {a₁, a₂,..., a_n} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n}, {a₂, ..., a_n, a₁}, ..., {a_n, a₁, ..., a_n–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

б) Выведите отсюда равенства: где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 675 676 677 678 679 680 681 >> [Всего задач: 4557]