Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 731 732 733 734 735 736 737 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56665

Тема:

[

Прямые, касающиеся окружностей

]

Сложность: 5
Классы: 7,8

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

Прислать комментарий Решение

Задача 56682

Тема:

[

Три окружности одного радиуса

]

Сложность: 5
Классы: 8

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., а или б. Докажите, что $\smile$ AB₁ + $\smile$ BC₁± $\smile$ CA₁ = 180^o, где знак минус берется в случае б.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56683

Тема:

[

Три окружности одного радиуса

]

Сложность: 5
Классы: 8

Три окружности одного радиуса проходят через точку P; A, B и Q — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку Q и пересекается с двумя другими в точках C и D. При этом треугольники ABQ и CDP остроугольные, а четырехугольник ABCD выпуклый (рис.). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56687

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина отрезка BC. Докажите, что BM² = DM^.ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того, $\angle$ BEM = $\angle$ DEC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56688

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что AB^.CD = BC^.AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 731 732 733 734 735 736 737 >> [Всего задач: 4557]