Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 729 730 731 732 733 734 735 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56605

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Окружность S₁ с диаметром AB пересекает окружность S₂ с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S₂ в точке M, лежащей внутри S₁, а S₁ в точке N. Докажите, что MN² = CN^.ND.

Прислать комментарий Решение

Задача 56626

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56629

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁, B₁ и A₁; O, O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников ABC, AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C; H, H_a, H_b и H_c — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а) $\triangle$ O_aO_bO_c $\sim$ $\triangle$ ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH, O_aH_a, O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56630

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 56631

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б) $\angle$ EPO = 90^o.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 729 730 731 732 733 734 735 >> [Всего задач: 4557]