Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 727 728 729 730 731 732 733 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56580

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B₁ и C₁. Прямые BC₁ и CB₁ пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

Прислать комментарий Решение

Задача 56584

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:
а) $\angle$ BPC = 90^o;
б) S_ABP : S_ABC = 1 : 2.

Прислать комментарий Решение

Задача 56585

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если $\angle$ CBM = $\angle$ CDM, то $\angle$ ACD = $\angle$ BCM.

Прислать комментарий Решение

Задача 56586

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Точки A₂, B₂ и C₂ взяты на прямых BC, CA и AB так, что $\angle$ (PA₂, BC) = $\angle$ (PB₂, CA) = $\angle$ (PC₂, AB). Докажите, что $\triangle$ A₂B₂C₂ $\sim$ $\triangle$ A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56587

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно; P' и Q' — середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQ'C и CP'D правильные.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 727 728 729 730 731 732 733 >> [Всего задач: 4557]