Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 724 725 726 727 728 729 730 >> [Всего задач: 4557]

Задача 98353

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Пушкарь П.Е., Дольников В.Л.

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98374

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98421

Темы:	[	Замена переменных	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Разрывы функций	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дана функция , где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)), где каждая из функций f_i(x) есть функция одного из видов: k_ix + b_i, x^–1, x².

Прислать комментарий

Решение

Задача 107764

Темы:	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Перестройки	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109621

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Малинникова Е.

Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 724 725 726 727 728 729 730 >> [Всего задач: 4557]