Страница:
<< 722 723 724 725
726 727 728 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10
|
а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.
б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9
|
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.
Страница:
<< 722 723 724 725
726 727 728 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
