Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 720 721 722 723 724 725 726 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73574

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = m, a₃ = m² – 1, a₄ = m³ – 2m, a₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой a_k+1 = ma_k – a_k–1 для любого k 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73602

Темы:	[	Объем шара, сегмента и проч.	]
Темы:	[	Объем круглых тел	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

Прислать комментарий Решение

Задача 73618

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73632

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Розенталь А.Л.

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Прислать комментарий Решение

Задача 73641

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0, то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁ и x² + p₂x + q₂ имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 720 721 722 723 724 725 726 >> [Всего задач: 4557]