Страница:
<< 719 720 721 722
723 724 725 >> [Всего задач: 4557]
|
[Неравенство Мюрхеда]
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Пусть α = (α1, ..., αn) и β = (β1, ..., βn) – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если α ≠ β, то при всех неотрицательных x1, ..., xn выполняется неравенство Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα
смотри в задаче 61417,
определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть 
– производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству
C(x) = xC²(x) + 1,
и получите явный вид функции
C(
x).
Определение чисел Каталана можно найти в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых
больше 1. Докажите это.
Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.
Страница:
<< 719 720 721 722
723 724 725 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
