Страница: << 756 757 758 759 760 761 762 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57052

Тема:   [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 5 Классы: 9

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что  AP ^. AB = AR ^. AD = AQ ^. AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57053

Тема:   [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 5 Классы: 9

На дуге  A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника  A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а)  d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б)  l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57056

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57057

Тема:   [ Пятиугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

а) Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57059

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что  a² + b² = c².

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 756 757 758 759 760 761 762 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями