Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 759 760 761 762 763 764 765 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57097

Тема:

[

Вписанные и описанные многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9

Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках A₁,..., A_n, причем длина стороны, на которой лежит точка A_i, равна a_i. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, что a₁XA₁² + ... + a_nXA_n² = P(r² + d²), где P — периметр многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57101

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Прислать комментарий Решение

Задача 57102

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9

Для каких n существует выпуклый n-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Прислать комментарий Решение

Задача 57144

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 57145

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 759 760 761 762 763 764 765 >> [Всего задач: 4557]