Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 782 783 784 785 786 787 788 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57736

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Точки P₁, P₂ и P₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2n-угольника A₁...A_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников A₁A₂P_i, A₃A₄P_i,..., A_{2n - 1}A_2nP_i равна одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки P сумма площадей этих треугольников равна c.

Прислать комментарий Решение

Задача 57737

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что CQ || AP, а точка R такова, что AR || BQ и CR || BP. Докажите, что S_ABC = S_PQR.

Прислать комментарий Решение

Задача 57754

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = $\alpha$ и BL : LC = AN : ND = $\beta$ . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = $\alpha$ и KP : PM = $\beta$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57755

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство p ${\frac{AK}{KB}}$ + q ${\frac{CL}{LB}}$ = 1, где p и q — данные положительные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 57756

Темы:	[	Теорема о группировке масс	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 782 783 784 785 786 787 788 >> [Всего задач: 4557]