Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 905 906 907 908 909 910 911 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56706

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что r_a + r_c = r_b + r_d.

Прислать комментарий Решение

Задача 56975

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Прислать комментарий Решение

Задача 56976

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7+
Классы: 9

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2) $\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ , где a = BC (окружность Нейберга).

Прислать комментарий Решение

Задача 58129

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S $\le$ P²/4 $\pi$ , причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).

Прислать комментарий Решение

Задача 58130

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны, причём многоугольник B₁...B_n вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 905 906 907 908 909 910 911 >> [Всего задач: 4557]