Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 904 905 906 907 908 909 910 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73780

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий Решение

Задача 73787

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

Задача 56977

[Оружности Схоуте]

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Опустим из точки M перпендикуляры MA₁, MB₁ и MC₁ на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A₁B₁C₁ имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).

Прислать комментарий Решение

Задача 58356

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 73688

Темы:	[	Ребусы	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 7+

Автор: Ионин Ю.И.

Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:

**** – ****.

Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 904 905 906 907 908 909 910 >> [Всего задач: 4557]