Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 906 907 908 909 910 911 912 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58131

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что S $\le$ L²/2 $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 58132

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 58262

Тема:

[

Разные задачи на разрезания

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.

Прислать комментарий Решение

Задача 58357

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Прислать комментарий Решение

Задача 58358

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Концентрические окружности	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360^o/n (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 906 907 908 909 910 911 912 >> [Всего задач: 4557]