Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 291 292 293 294 295 296 297 >> [Всего задач: 8157]

Задача 79239

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 9

Рассматриваются решения уравнения ¹/_x + ¹/_y = ¹/_p (p > 1), где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх ((a, b) и (b, a) – различные решения, если a ≠ b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79251

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3
Классы: 8

Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.

Прислать комментарий Решение

Задача 79271

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами ${\frac{1}{a+c}}$ , ${\frac{1}{b+c}}$ , ${\frac{1}{a+b}}$ также можно составить треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 79279

Тема:

[

Системы точек

]

Сложность: 3
Классы: 8

На прямой расположено 100 точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?

Прислать комментарий Решение

Задача 79287

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Принцип крайнего	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 291 292 293 294 295 296 297 >> [Всего задач: 8157]