Страница: << 690 691 692 693 694 695 696 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108108

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Концентрические окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, S_A, S_B, S_C – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к S_A, проведёнными из точки A, к S_B – из точки B, и к S_C – из точки C, равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108109

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.

Докажите, что  ∠APB = ∠CQD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108110

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108131

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны соответственно точки D и E, причём
AD = AB  и  CE = CM.  Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108151

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC.
Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 690 691 692 693 694 695 696 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями