Страница:
<< 930 931 932 933
934 935 936 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Саша выбрал натуральное число N > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: d1 < ... < ds (так что d1 = 1 и
ds = N). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных s – 1 чисел оказалась равной
N – 2. Какие значения могло принимать N?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a² + 1/b² + 1/c² + 1/d² ≤ 1/a²b²c²d².
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³ ≤ 1/a³b3c³d³.
Страница:
<< 930 931 932 933
934 935 936 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
