Страница:
<< 1114 1115 1116 1117
1118 1119 1120 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На доске записано целое положительное число N. Два игрока ходят по очереди. За ход разрешается либо заменить число на доске на один из его делителей (отличных от единицы и самого числа), либо уменьшить число на единицу (если при этом число остается положительным). Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. При каких N первый игрок может выиграть, как бы ни играл соперник?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.)
Страница:
<< 1114 1115 1116 1117
1118 1119 1120 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
