Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109195

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Гордин Р.К., Сергеев П.В.

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что лучи A₁A, B₁B и С₁C являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что AA₁, BB₁ и СС₁ – высоты треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109439

Темы:	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109440

Темы:	[	Смешанные уравнения и системы уравнений	]
Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Решите уравнение: (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) + (2^x³ – 4) sin x = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109441

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Даны таблица 100×100 клеток и N фишек. Рассматриваются все такие расстановки фишек в клетки таблицы, что никакие две фишки не стоят в соседних клетках. При каком наибольшем N в каждой из этих расстановок можно найти хотя бы одну фишку, от перемещения которой в соседнюю клетку заданное условие не нарушится? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109453

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть α и β – острые углы такие, что sin²α + sin²β < 1 . Докажите, что sin²α + sin²β < sin²(α + β) .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 >> [Всего задач: 8157]