Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1559 1560 1561 1562 1563 1564 1565 >> [Всего задач: 8157]

Задача 78571

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.).

Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78574

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Найти геометрическое место центров равносторонних треугольников, описанных около данного произвольного треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 78668

Темы:	[	Скрещивающиеся прямые и ГМТ	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Cерединный перпендикуляр и ГМТ	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые, l₁, l₂, l₃, l₄, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость P так, чтобы точки A₁, A₂, A₃, A₄ пересечения этих прямых с P образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?

Прислать комментарий Решение

Задача 78675

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Две прямые на плоскости пересекаются под углом $\alpha$ . На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол $\alpha$ измеряется рациональным числом градусов.

Прислать комментарий Решение

Задача 78791

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бернштейн И.Д.

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число c_k, что ≥ c_k для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение c_k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1559 1560 1561 1562 1563 1564 1565 >> [Всего задач: 8157]