Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1604 1605 1606 1607 1608 1609 1610 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109776

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Черепанов Е.

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Прислать комментарий Решение

Задача 109798

Темы:	[	Необычные конструкции	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Пусть M={x₁, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A₁>1 .

Прислать комментарий Решение

Задача 109799

Темы:	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109806

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Прислать комментарий Решение

Задача 109835

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x² – S(A)x + S(B) = 0, где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1604 1605 1606 1607 1608 1609 1610 >> [Всего задач: 8157]