соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1602 1603 1604 1605 1606 1607 1608 >> [Всего задач: 8157]
Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.
В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что
$$
R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2).
$$
Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых – попарно различные натуральные числа, есть ровно $N$ фальшивых. Детектор за одну проверку определяет сумму номиналов всех настоящих купюр, входящих в выбранный нами набор. Докажите, что за $N$ проверок можно найти все фальшивые купюры, если а) $N = 2$; б) $N = 3$.
Страница: << 1602 1603 1604 1605 1606 1607 1608 >> [Всего задач: 8157]
Задача 115509 |
|
|
На плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых n + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков.
|
|
|
Решение |
Задача 116695 |
|
|
Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, ..., 2k}, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.
|
|
|
Решение |
Задача 66803 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66960 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67158 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1602 1603 1604 1605 1606 1607 1608 >> [Всего задач: 8157]
