Страница:
<< 1600 1601 1602 1603
1604 1605 1606 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 7,8,9,10
|
Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и
одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь
таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может
перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает
чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка
определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Каждой стороне
b выпуклого многоугольника
P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в
P, одна из сторон которых совпадает с
b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам
P, не меньше удвоенной площади многоугольника
P.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в
него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на
эту сторону высоты.
Страница:
<< 1600 1601 1602 1603
1604 1605 1606 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
