соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1599 1600 1601 1602 1603 1604 1605 >> [Всего задач: 8157]
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l
касается окружностей, описанных около треугольников ADB и
ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что
окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и
MN касается прямой l .
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B
проводится произвольная прямая l , а через точки A
и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l ,
пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки
D и E различны, строятся правильные треугольники
DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l .
Найдите геометрическое место точек P и T .
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D .
Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает
сторону AC в точке M , а окружность, описанная около
треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N
(точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр
описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что
прямая OD перпендикулярна стороне AB .
За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех
сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а
дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F .
При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой
компании?
Страница: << 1599 1600 1601 1602 1603 1604 1605 >> [Всего задач: 8157]
Задача 108223 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108233 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108246 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109517 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109630 |
|
|
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида x² + px + q, среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1599 1600 1601 1602 1603 1604 1605 >> [Всего задач: 8157]
