Страница: << 1596 1597 1598 1599 1600 1601 1602 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98162

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Свойства сечений ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98172

Темы:   [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Связность. Связные множества ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98331

Темы:   [ Четность перестановки ] [ Обход графов ] [ Перестройки ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  f_ij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98443

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Деревья ] [ Доказательство от противного ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Раскраски ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105058

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Индукция (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

В соревнованиях по n-борью участвуют 2ⁿ человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
  а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
  б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит  2ⁿ – n.
  в) Докажите, что может так случиться, что возможных победителей ровно  2ⁿ – n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1596 1597 1598 1599 1600 1601 1602 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями