Страница:
<< 1595 1596 1597 1598
1599 1600 1601 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает
n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (
n+1)
2 попыток?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну
новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости?
Рассмотрите три случая:
а) N = 64,
б) N = 55,
в) N = 100.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что 
(O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна 
где O – центр тетраэдра.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии,
причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх
красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а
второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
Страница:
<< 1595 1596 1597 1598
1599 1600 1601 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
