Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1593 1594 1595 1596 1597 1598 1599 >> [Всего задач: 8157]

Задача 116089

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Преобразования подобия (прочее)	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Блинков Ю.А.

К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Прислать комментарий

Решение

Задача 116183

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Покрытия	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Чеботарев А.С.

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64745

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Монотонность, ограниченность	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Нилов Ф.

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64862

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку L_a, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки L_b, L_c и L_d соответственно. Оказалось, что четырёхугольник L_aL_bL_cL_d вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65756

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1593 1594 1595 1596 1597 1598 1599 >> [Всего задач: 8157]