Страница: << 1592 1593 1594 1595 1596 1597 1598 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116730

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Индукция (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось
100 кучек по одному камешку. Докажите, что
  а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116754

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA₁, CC₁ – высоты. Прямая A₁C₁ пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116770

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Точка E – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116840

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77899

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1592 1593 1594 1595 1596 1597 1598 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями